Question

如圖，在⊙O的直徑AB的延長線上任取一點C，過點C引直線與⊙O交于點D、E，在⊙O上再取一點F，使

AE

=

AF

．
（Ⅰ）求證：E、D、G、O四點共圓；
（Ⅱ）如果CB=OB，試求

CB

CG

的值．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,圓內(nèi)接多邊形的性質與判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明∠EDF=∠AOE，利用∠COE與∠AOE互補，可得∠COE與∠EDF互補，從而可得E、D、G、O四點共圓；
（Ⅱ）利用四點共圓，結合割線定理，即可求

CB

CG

的值．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠EDF的度數(shù)等于

EAF

的度數(shù)的一半，而

AE

=

AF

，
∴∠EDF的度數(shù)等于

AE

的度數(shù)．
∵∠AOF的度數(shù)等于

AE

的度數(shù)，
∴∠EDF=∠AOE，
∵∠COE與∠AOE互補，
∴∠COE與∠EDF互補，
∴E、D、G、O四點共圓；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知E、D、G、O四點共圓，
∴CE•CD=CO•CG，
∵CE•CD=CA•CB，
∴CA•CB=CO•CG，
∵CB=OB，
∴

CB

CG

=

CO

CA

=

2

3

．

點評：本題考查圓內(nèi)接多邊形的性質與判定，考查割線定理，確定四點共圓是關鍵．