Question

如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）求證：AB∥平面DEF；
（2）求二面角B-DF-E的余弦值；
（3）當(dāng)點P在線段BC什么位置時，AP⊥DE？并求點C到平面DEP的距離．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證明線面平行，在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BEF中三條已知直線中，EF可能與AB平行，故可以以此為切入點進行證明．
（2）要求二面角的余弦，找出二面角的平面角，然后通過解三角形，求出這個平面角的余弦值，進而給出二面角的余弦值．
（3）線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．

解答： （1）證明：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF．
∴AB∥平面DEF．
（2）解：∵AD⊥CD，BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD
∴AD⊥平面BCD
取CD的中點M，這時EM∥AD
∴EM⊥平面BCD
過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=

3

2

，EN=

7

2

，
∴cos∠MNE=

21

7

．
∴二面角B-DF-E的余弦值為-

21

7

；
（3）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE
證明如下：在線段BC上取點P．使BP=

1

3

BC，
過P作PQ⊥CD于Q，
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
∴DQ=

1

3

DC=

2 3

3

，
∴tan∠DAQ=

DQ

AD

=

3

3

，∴∠DAQ=30°
在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE
∵PQ⊥平面ACD
∴AP⊥DE．AQ∩AP=A
∴DE⊥平面APQ，
∴AP⊥DE．
此時BP=

1

3

BC．

點評：本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角，其中熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化及線面夾角的定義，是解答本題的關(guān)鍵．