Question

如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中點(diǎn)，PD⊥BC．求證：
（Ⅰ） PC∥平面BED；
（Ⅱ）△PBC是直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先利用中位線的性質(zhì)證明出 OE∥PC，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出 PC∥平面BDE．
（Ⅱ）先利用線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PDC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出 BC⊥PC，則△PBC的形狀可判斷．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE．
在矩形ABCD中，AO=OC．
因?yàn)?nbsp;AE=EP，
所以 OE∥PC．
因?yàn)?nbsp;PC?平面BDE，OE?平面BDE，
所以 PC∥平面BDE．
（Ⅱ）在矩形ABCD中，BC⊥CD．
因?yàn)?nbsp;PD⊥BC，CD∩PD=D，PD?平面PDC，DC?平面PDC，
所以 BC⊥平面PDC．
因?yàn)?nbsp;PC?平面PDC，
所以 BC⊥PC．
即△PBC是直角三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．