Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x≤1}\\{{log}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁，x₂，x₃互不相等），則實(shí)數(shù)x₁+x₂+x₃的取值范圍為（1，8）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=|2x+1|的圖象，令t=f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），設(shè)x₁＜x₂＜x₃，由圖象的對(duì)稱性可得x₁+x₂=-1，由條件可得2＜x₃＜9．作出y=log₂（x-m）（x＞1）的圖象，由0＜t＜3，即可得到m的值．

解答 解：作出函數(shù)f（x）=|2x+1|的圖象，x=1時(shí)，f（1）=3，
令t=f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
則有x₁+x₂=-1，
作出y=log₂（x-1）（x＞1）的圖象，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則0＜f（x₃）＜3．
由y=3，即有l(wèi)og₂（x-1）=3，x=9，即x₃＜9，
y=0時(shí)，有l(wèi)og₂（x-1）=0，解得x=2，即x₃＞2，
可得x₁+x₂+x₃的取值范圍為（1，8），
故答案為：（1，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的對(duì)稱性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，正確畫圖和通過圖象觀察是解題的關(guān)鍵．