Question

已知函數(shù)f（x）=（

3

sin

ω

2

x+cos

ω

2

x)cos

ω

2

x-

1

2

cos

ω

2

x-

1

2

（ω＞0）的最小正周期為2π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，可求得f（x）=sin（ωx+

π

6

），其最小正周期為2π，從而可求得ω的值；
（Ⅱ）利用正弦定理與兩角和的正弦可知2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，從而可求得cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（A）的取值范圍．

解答： 解：（I）f（x）=

3

sin

ω

2

xcos

ω

2

x+cos2

ω

2

x-

1

2

=sin（ωx+

π

6

），
∵T=

2π

ω

=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（x+

π

6

）；
（II）∵△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，又B∈（0，π），
∴B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，
∵f（A）=sin（A+

π

6

），

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
即函數(shù)f（A）的取值范圍為（

1

2

，1]，．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦定理、兩角和的正弦及正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．