Question

3．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=cos2x$+\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（A）=2解出A，代入面積公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA解出c，利用余弦定理求出a．

解答 解：（1）f（x）=cos2x$+\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，f（x）取得最小值0，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值3，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域是[0，3]．
（2）∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=2．
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bc•cosA}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與性質(zhì)，解三角形，對f（x）進行降次化簡是關(guān)鍵．