Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx，a＞1．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=（2-a）x-lnx，f（x）≥g（x）在區(qū)間[e，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，分a=2，1＜a＜2和a＞2三種情況，分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥g（x）在區(qū)間[e，+∞）恒成立，則F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+alnx-2x≥0在區(qū)間[e，+∞）恒成立，分析F（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可將問題轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答： 解：（1）函數(shù)f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）
且f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

（i）若a-1=1，即a=2，則f′（x）=

(x-1)2

x

≥0恒成立，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；無單調(diào)遞減區(qū)間．
（ii）若a-1＜1，即1＜a＜2，
則當(dāng)x∈（a-1，1）時(shí)，f′（x）＜0
當(dāng)x∈（0，a-1）或x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a-1）和（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（a-1，1）．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，
則當(dāng)x∈（1，a-1）時(shí)，f′（x）＜0
當(dāng)x∈（0，1）或x∈（a-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（a-1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a-1）．
（2）∵g（x）=（2-a）x-lnx，
若f（x）≥g（x）在區(qū)間[e，+∞）恒成立，
則F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+alnx-2x在區(qū)間[e，+∞）恒成立，
∵F′（x）=x+

a

x

-2≥2

a

-2＞0
∴F（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)
故F（e）=

1

2

e2+alne-2e=

1

2

e2+a-2e≥0
即a≥2e-

1

2

e2
故a的取值范圍為[2e-

1

2

e2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．