Question

已知橢圓C：

x2

m+1

+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）．
（Ⅰ）若直線y=x+2與橢圓C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)E是（I）中直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，求|EF₁|+|EF₂|取得最小值時(shí)，橢圓的方程；
（Ⅲ）已知斜率為k（k≠0）的直線l與（Ⅱ）中橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q滿足

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，其中N為橢圓的下頂點(diǎn)，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意，m+1＞1，即m＞0，直線y=x+2代入橢圓，利用判別式大于0，即可求m的取值范圍；
（Ⅱ）由橢圓的定義可知|EF₁|+|EF₂|=2

m+1

，結(jié)合m≥2，即可求出橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為y=kx+t．代入橢圓方程，消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．由△＞0，知t²＜1+3k²，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6kt

1+3k2

，x₁x₂=

3k2-3

1+3k2

，再結(jié)合

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，即可求出截距t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，m+1＞1，即m＞0，
直線y=x+2代入橢圓C：

x2

m+1

+y2=1，可得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0，
△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，
∴m≥2；
（Ⅱ）由橢圓的定義可知|EF₁|+|EF₂|=2

m+1

，
∵m≥2，
∴m=2時(shí)，|EF₁|+|EF₂|的最小值為2

3

，
此時(shí)橢圓的方程

x2

3

+y2=1；
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為y=kx+t．
代入橢圓方程，消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．
∵直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B，
∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6kt

1+3k2

，x₁x₂=

3k2-3

1+3k2

．
由

AQ

=

QB

，得Q為線段AB的中點(diǎn)，
∴x_Q=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，y_Q=

t

1+3k2

．
∵

NQ

•

AB

=0，
∴k_AB•k_QN=-1，即

t 1+3k2 +1

- 3kt 1+3k2

•k=-1．
化簡得1+3k²=2t，代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2．
又由2t=1+3k²＞1，∴t＞

1

2

．
∴直線l在y軸上的截距t的取值范圍是（

1

2

，2）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和截距t的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，利用橢圓性質(zhì)注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．