Question

已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0）．直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是-

1

4

，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)Q是曲線C上的動點(diǎn)，直線AQ，BQ分別交直線l：x=4于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為D，求直線QB與直線BD的斜率之積的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記直線BM與AN的交點(diǎn)為T，試探究點(diǎn)T與曲線C的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出直線AM、BM的斜率，求出它們的斜率之積，利用斜率之積是-

1

4

，建立方程，去掉不滿足條件的點(diǎn)，即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）直線AQ的方程為y=k（x+2），令x=4，則得M的坐標(biāo)，直線BQ的方程為y=-

1

4k

（x-2），令x=4，則得N的坐標(biāo)，可得D的坐標(biāo)，求直線QB與直線BD的斜率之積，即可求出其取值范圍；
（3）由（2）得，M（4，6k），N（4，-

1

2k

），利用直線BM與AN的斜率之積是-

1

4

，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），因?yàn)锳（-2，0），B（2，0）
∴由已知，

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

（x≠±2）
化簡，得

x2

4

+y2=1（x≠±2）．…（4分）
（2）設(shè)直線AQ的斜率為k（k≠0），則由題可得直線BQ的斜率為-

1

4k

，
∴直線AQ的方程為y=k（x+2），令x=4，則得M（4，6k），
直線BQ的方程為y=-

1

4k

（x-2），令x=4，則得N（4，-

1

2k

），
∴D（4，3k-

1

4k

），
∴k_BD=

3k- 1 4k

4-2

=

3k

2

-

1

8k

…（8分）
故k_BDk_QB=（

3k

2

-

1

8k

）×（-

1

4k

）=-

3

8

+

1

32k2

＞-

3

8

，
∴直線QB與直線BD的斜率之積的取值范圍為（-

3

8

，+∞）…（10分）
（3）由（2）得，M（4，6k），N（4，-

1

2k

），
∴k_BM•k_AN=

6k-0

4-2

•

- 1 2k -0

4+2

=-

1

4

…（12分）
∴點(diǎn)T在曲線C上．…（14分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求解，解題的關(guān)鍵是正確表示出直線AM、BM的斜率，利用條件建立方程．