Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，等比數(shù)列{b_n}，滿足b₁=a₁+1=2，b₂=a₂+1，b₃=a₄+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的條件建立方程組，即可求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)誤相減法即可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）∵b₁=a₁+1=2，
∴a₁=2-1=1，
∴b₂=a₂+1=2+d，b₃=a₄+1=2+3d．
∴

b

2 2

=b1b3，
即（2+d）²=2（2+3d），
即d²=2d，解得d=0（舍去）或d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₂=2+d=2+2=4，
∴公比q=

4

2

=2，∴bn=2•2n-1=2n．
即a_n=2n-1，bn=2n．
（Ⅱ）∵cn=(2n-1)2n，
Sn=c1+c2+c3+…+cn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1，
∴-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1，

=2+ 8(1-2n-1) 1-2 -(2n-1)×2n+1   =-6-(2n-3)2n+1

，
∴Sn=6+(2n-3)2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．