Question

已知向量

a

=(-3，1)，

b

=（1，-2），

m

=

a

+k

b

(k∈R)
①若向量

m

與向量2

a

-

b

垂直，求實(shí)數(shù)k的值
②若向量

m

與向量2

a

-

b

共線，求實(shí)數(shù)k的值
③設(shè)向量

a

與

m

的夾角為α，

b

與

m

的夾角為β，是否存在實(shí)數(shù)k使α+β=π？求實(shí)數(shù)k的值，若不存在說(shuō)明理由？

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：①由向量

a

、

b

的坐標(biāo)，求出

m

與2

a

-

b

的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示建立關(guān)于k的等式，解之可得滿足條件的實(shí)數(shù)k的值；
②根據(jù)向量

m

與2

a

-

b

的坐標(biāo)，利用向量平行的條件建立關(guān)于k的等式，解之可得滿足條件的實(shí)數(shù)k的值；
③設(shè)向量

a

、

b

、

m

的起點(diǎn)為O，終點(diǎn)分別為A、B、M，則當(dāng)點(diǎn)M落在∠AOB的補(bǔ)角∠AOC的平分線上時(shí)，滿足α+β=π．此時(shí)點(diǎn)M到直線OA、OB的距離相等，且M在第二或第四象限內(nèi)，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的方程，解之可得：存在k=-

2

，使α+β=π成立．

解答： 解：∵

a

=(-3，1)，

b

=（1，-2），
∴

m

=

a

+k

b

=（k-3，-2k+1），2

a

-

b

=（-7，4）
①∵向量

m

與向量2

a

-

b

垂直，
∴（k-3）×（-7）+（-2k+1）×4=0，解之得k=

5

3

；
②∵向量

m

與向量2

a

-

b

共線，
∴（k-3）×4-（-7）×（-2k+1）=0，解之得k=

19

10

；
③設(shè)

OA

=

a

=(-3，1)，

OB

=

b

=（1，-2），

OM

=

m

=(k-3，-2k+1)，
此時(shí)∠MOA=α，∠MOB=β，α+β=∠MOA+∠MOB，
設(shè)∠AOC是∠AOB的補(bǔ)角，則當(dāng)M在∠AOC的平分線上時(shí)，α+β=∠MOC+∠MOB=π．
直線OA的方程為x+3y=0，直線OB的方程為2x+y=0，點(diǎn)M（k-3，-2k+1）到直線OA、OB的距離相等．
∴

|k-3+3(-2k+1)|

12+32

=

|2(k-3)-2k+1|

22+12

，解之得k=±

2

．
又∵點(diǎn)M（k-3，-2k+1）是第二或第四象限內(nèi)的點(diǎn)，
∴（k-3）（-2k+1）＜0，解得k＜

1

2

或k＞3，由此可得k=

2

不符合題意，舍去．
綜上所述，存在k=-

2

，使α+β=π成立．

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量含有參數(shù)k的坐標(biāo)，探索兩個(gè)向量平行、垂直的位置關(guān)系．著重考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量平行與垂直的條件、點(diǎn)到直線的距離公式及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．