已知f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，
（Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求
1+sin2x
cos2x-sinxcosx
的值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π]，求g（x）=
f(x)-f′(x)
4+f(x)+f′(x)
的單調(diào)遞增區(qū)間．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)中的恒等變換應用
專題：導數(shù)的綜合應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（Ⅰ）利用導數(shù)，建立方程關系，根據(jù)三角函數(shù)的公式進行化簡即可得到結論．
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的表達式，利用
解答： 解：由 f（x）=sinx+cosx知  f'（x）=cosx-sinx
（Ⅰ）由f（x）=2f'（x）得3sinx=cosx，有
1+sin2x
cos2x-sinxcosx
=
cos2x+2sin2x
cos2x-sinxcosx
=
9sin2x+2sin2x
9sin2x-3sinxsinx
=
11
6
．
（Ⅱ）由x∈[0，2π]，g(x)=
f(x)-f′(x)
4+f(x)+f′(x)
=
2sinx
4+2cosx
=
sinx
2+cosx
，
g′（x）=
2(cosx+
1
2
)
(2+cosx)2
．
當0≤x＜
2π
3
或
4π
3
＜x≤2π時，cosx＞-
1
2
，
即f'（x）＞0；
因此g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，
2π
3
)，(
4π
3
，2π]．
點評：本題主要考查導數(shù)的計算，以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查學生的計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復數(shù)
i
2i-1
在復平面內(nèi)對應的點位于（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形．求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2=b2+c2+
3
bc．
（1）求角A的值；
（2）設a=
3
，S為△ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時B的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對某400件元件進行壽命追蹤調(diào)查情況頻率分布如下：

壽命（h） 頻率 頻數(shù)
500～600 0.10
 
600～700 0.15
 
700～800 0.40
 
800～900 0.20
 
900～1000 0.15
 
合計 1
 
（1）填寫上表中的頻數(shù)；
（2）估計元件壽命在500～800h以內(nèi)的頻率；
（3）估計元件壽命在800h以上的頻率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象向左平移
π
6
個單位后得到偶函數(shù)g（x）的圖象．
（Ⅰ）求φ的值；  
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x-
π
12
）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（m2-2m）＞f（m），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
tanB
tanA
+1=
2c
a
．
（1）求B；
（2）若cos（C+
π
6
）=
1
3
，求sinA的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某種樹苗栽種時高度為A（A為常數(shù)）米，栽種n年后的高度記為f（n）．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)f（n）近似地滿足f（n）=
9A
a+btn
，其中t=2-
2
3
，a，b為常數(shù)，n∈N，f（0）=A．已知栽種3年后該樹木的高度為栽種時高度的3倍．
（1）栽種多少年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍；
（2）該樹木在栽種后哪一年的增長高度最大．

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