Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)，f（x）=lnx；②當(dāng)x∈[

1

e2

，1）時(shí)，f（x）•f（

1

x

）=1．若函數(shù)g（x）=f（x）-ax，x∈[

1

e2

，e²]有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先求出x∈[

1

e2

，1）時(shí)，f（x）的解析式；然后把方程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)y=a，和y=

f(x)

x

，畫(huà)出它們的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求出a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x∈[

1

e2

，1）時(shí)，

1

x

∈[1，e²]，
可得f（

1

x

）=ln

1

x

=-lnx，
因?yàn)楫?dāng)x∈[

1

e2

，1）時(shí)，f（x）•f（

1

x

）=1，
所以當(dāng)x∈[

1

e2

，1）時(shí)，f（x）=-

1

lnx

，
則f（x）=

lnx，x∈[1，e2] - 1 lnx ，x∈[ 1 e2 ，1)

，

f(x)

x

=

lnx x ，x∈[1，e2] - 1 xlnx ，x∈[ 1 e2 ，1)

；
∵函數(shù)y=

f(x)

x

=

lnx

x

，x∈[1，e2]，
∴y′=

1-lnx

x2

，
令y′=0，得x=e，
當(dāng)e≤x≤e²時(shí)，y′≤0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)1≤x＜e時(shí)，y′＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在x=e處取極大值，也是最大值，
∴y最大值為f（e）=e^-1=

1

e

；
當(dāng)

f(x)

x

=-

1

xlnx

，x∈[

1

e2

，1)，
x=

1

e2

時(shí)，

f(x)

x

的最小值為-

1

1 e2 •ln 1 e2

=

e2

2

，
分別畫(huà)出y=a，和y=

f(x)

x

的圖象，
所以函數(shù)g（x）=f（x）-ax，x∈[

1

e2

，e²]有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，

1

e

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了方程的根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．