Question

20．某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	5		-5	0

（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若關(guān)于x的方程g（x）-（2m+1）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)五點法進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)平移關(guān)系求出函數(shù)g（x）的表達式，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題即可．

解答 解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5，ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$，數(shù)據(jù)補全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	5	0	-5	0

且函數(shù)表達式為f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）通過平移，g（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$），方程g（x）-（2m+1）=0可看成函數(shù)g（x），x∈[0，$\frac{π}{2}$]和函數(shù)y=2m+1的圖象有兩個交點，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，為使橫線y=2m+1與函數(shù)g（x）有兩個交點，只需$\frac{5}{2}$≤2m+1＜5，解得$\frac{3}{4}$≤m＜2．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用五點法以及函數(shù)與方程的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．