Question

15．由點(diǎn)P向圓x²+y²=2引兩條切線PA，PB，A，B是切點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是（　�。�

• A． 6-4$\sqrt{2}$
• B． 3-2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-3
• D． 4$\sqrt{2}$-6

Answer 1

分析 設(shè)圓心為O，OP=x，則PA²=x²-2，sin∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{x}$，可得cos∠APB=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合基本不等式，即可求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：設(shè)圓心為O，OP=x，則PA²=x²-2，sin∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{x}$，
∴cos∠APB=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x²-2）（1-$\frac{4}{{x}^{2}}$）=（x²+$\frac{8}{{x}^{2}}$）-6≥4$\sqrt{2}$-6，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是4$\sqrt{2}$-6，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積公式，基本不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．