Question

已知函數(shù)f（x）=ax-e^x（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線過點(diǎn)（1，1），求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)1≤a≤1+e時(shí)，求證：f（x）≤x．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，即可求a的值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可證明不等式f（x）≤x．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）圖象過點(diǎn)（0，-1），切線斜率為f′(0)=

1-(-1)

1-0

=2，…（2分）
f（x）=ax-e^x⇒f′（x）=a-e^x⇒f′（0）=a-1=2，∴a=3．…（6分）
（Ⅱ）令g（x）=x-f（x），則g（x）=e^x-（a-1）x．
若a=1，則g（x）=e^x＞0，∴f（x）≤x成立．…（8分）
若1＜a≤1+e，則g'（x）=e^x-（a-1）．
∴當(dāng)x＜ln（a-1）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞ln（a-1）時(shí)，g′（x）＞0．
∴g（x）的（-∞，ln（a-1））上單調(diào)遞減；在（ln（a-1），+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）≥g（ln（a-1））=e^ln（a-1）-（a-1）ln（a-1）=（a-1）[1-ln（a-1）]．…（11分）
又∵1＜a≤1+e⇒a-1＞0，ln（a-1）≤lne=1，
∴（a-1）[1-ln（a-1）]≥0．
∴g（x）≥0，即f（x）≤x恒成立．
綜上，當(dāng)1≤a≤1+e時(shí)f（x）≤x．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．