Question

點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的

x2

4

+

y2

3

=1左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁且不與x軸垂直的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）若PF₂⊥QF₂，求此時(shí)直線PQ的斜率k；
（2）左準(zhǔn)線l上是否存在點(diǎn)A，使得△PQA為正三角形？若存在，求出點(diǎn)A，不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線PQ為y=k（x+1），聯(lián)立橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出PF₂⊥QF₂時(shí)直線PQ的斜率k．
（2）記PQ的中點(diǎn)為M，要使得PQA為正三角形，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，且|MA|=

3

2

|PQ|，由此推導(dǎo)出

3

2

＞1，所以左準(zhǔn)線l上不存在點(diǎn)A，使得△PQA為正三角形．

解答： 解：（1）設(shè)直線PQ為y=k（x+1），
聯(lián)立橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)點(diǎn)P（x₁，kx₁+k），Q（x₂，kx₂+k），
則有x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
又PF₂⊥QF₂，得

PF2

•

QF2

=0，
即有(k2-1)(x1+x2)+(k2+1)x1x2+k2+1=0，
整理得7k2=9，k=±

3 7

7

（2）記PQ的中點(diǎn)為M，要使得PQA為正三角形，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，
且|MA|=

3

2

|PQ|，
作MM₁⊥l于M₁，則

3

2

|PQ|＞|MM1|，
根據(jù)第二定義，得|MM1|=

|PQ|

2e

=|PQ|，
則有

3

2

＞1，顯然不成立，
故左準(zhǔn)線l上不存在點(diǎn)A，使得△PQA為正三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線斜率的求法，考查左準(zhǔn)線上是否存在使得三角形為正三角形的點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．