Question

已知點P是射線y=2（x＞1）上一點．過P作直線MN，交拋物線y²=4x于M，N兩點，使點P平分線段MN．
（Ⅰ）求直線MN的斜率；
（Ⅱ）直線l：y=x+m與拋物線y²=4x無公共點，若存在一個正方形ABCD，使點A，B在直線l上，點C，D在拋物線y²=4x上，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的斜率

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，兩式相減再利用斜率計算公式、中點坐標(biāo)公式即可得出．
（II）把直線方程y=x+m與拋物線方程聯(lián)立可得x²+（2m-4）x+m²=0，由于直線l：y=x+m與拋物線y²=4x無公共點，可得△＜0，解得m＞1．
設(shè)直線CD的方程為：y=x+t（t＜1），與拋物線方程可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式可得|CD|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

．直線l與CD之間的距離d=

|m-t|

2

=

m-t

2

．可得m=8

1-t

+t（t＜1）．通過求導(dǎo)即可得出其最大值．

解答： 解：（I）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∵y₁+y₂=2×2=4，kMN=

y1-y2

x1-x2

，
∴4k_MN=4，∴k_MN=1．
（II）聯(lián)立

y=x+m y2=4x

，化為x²+（2m-4）x+m²=0，
∵直線l：y=x+m與拋物線y²=4x無公共點，
∴△=（2m-4）²-4m²＜0，解得m＞1．
設(shè)直線CD的方程為：y=x+t（t＜1），
聯(lián)立

y=x+t y2=4x

，化為x²+（2t-4）x+t²=0，
則x₁+x₂=4-2t，x₁x₂=t²．
∴|CD|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4-2t)2-4t2]

=4

2(1-t)

．
直線l與CD之間的距離d=

|m-t|

2

=

m-t

2

．
∴

m-t

2

=4

2(1-t)

，化為m=8

1-t

+t（t＜1）．
m′(t)=1-

4

1-t

=

1-t -4

1-t

，令m′（t）=0，解得t=-15．
當(dāng)-15＜t＜1時，m′（t）＜0，函數(shù)m（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t＜-15時，m′（t）＞0，函數(shù)m（t）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t=-15時，m（t）取得最大值，m（-15）=17．
因此實數(shù)m的取值范圍是（1，17]．

點評：本題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、中點坐標(biāo)公式、點到直線的距離公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．