Question

已知拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），過F的直線L交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，直線AO、BO分別與直線m：x=-2相交于M、N．
（1）求拋物線C方程．
（2）求

S△ABO

S△MNO

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，求得P即可；
（2）根據(jù)直線L與x軸是否垂直，分兩種情況求解△ABO與△MNO的面積之比，驗(yàn)證即可．

解答： 解：（1）∵拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），
∴拋物線C方程為y²=4x．
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，△ABO與△MNO相似，
∴

S△ABO

S△MNO

=(

|OF|

2

)2=

1

4

．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=k（x-1），
設(shè)M（-2，y_M），N（-2，y_N），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解

y=k(x-1) y2=4x

整理得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∵∠AOB=∠MON，
∴x₁•x₂=1．∴

S△ABO

S△MNO

=

1 2 •AO•BO•sin∠AOB

1 2 •MO•NO•sin∠MON

=

AO

MO

•

BO

NO

=

1

4

．
綜上

S△ABO

S△MNO

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．