Question

【題目】記表示中的最大值，如.已知函數(shù)，.

（1）設(shè)，求函數(shù)在上零點的個數(shù)；

（2）試探究是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)個；(2)存在，.

【解析】

試題分析：(1)因為,所以構(gòu)造,在定義域內(nèi)求導(dǎo)判斷函數(shù)值為大于等于,故;構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)判斷單調(diào)性,畫出圖象,求出與的交點個數(shù)；(2)對恒成立,即和都小于恒成立,分別參變分離,在給定范圍內(nèi)求出最值,取各個的取值范圍的交集.

試題解析：解：（1）設(shè)，，

令，得，遞增；令，得，遞減.

∴，∴，即，∴.

設(shè)，則由得或.

∴在上遞增，在上遞減，

∵，，，∴結(jié)合與在上圖象可知，這兩個函數(shù)的圖象在上有兩個交點，即在上零點的個數(shù)為2.

（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得對恒成立，

則對恒成立，

即對恒成立，

（i）設(shè)，，

令，得，遞增；令，得，遞減.

∴.

當即時，，∴，∵，∴.

故當時，對恒成立.

當即時，在上遞減，∴.

∵，∴，

故當時，對恒成立.

（ii）若對恒成立，則，∴.

由（i）及（ii）得.

故存在實數(shù)，使得對恒成立，且的取值范圍為.