Question

已知

a

=（cos x，sin x），

b

=（1，x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，11π]時(shí)，求f（x）所有極值的和．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）由f（x）=cosx+xsinx，x＞0，知f′（x）=xcosx，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）x=

π

2

+kπ（k∈N）是函數(shù)的極值點(diǎn)，由此能求出x∈（0，11π]時(shí)，f（x）所有極值的和．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=cosx+xsinx，
∴f′（x）=xcosx，
由x＞0，f′（x）＞0，可得x∈（0，

π

2

）∪（

3

2

π+2kπ，

5

2

π+2kπ）（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

π

2

），（

3

2

π+2kπ，

5

2

π+2kπ）（k∈Z）；
（Ⅱ）x＞0，由f′（x）=0，得cosx=0，即x=

π

2

+kπ（k∈N），
∵f′（x）在x=

π

2

+kπ（k∈N）兩側(cè)異號(hào)，
∴x=

π

2

+kπ（k∈N）是函數(shù)的極值點(diǎn)，
∴x∈（0，11π]時(shí)，f（x）所有極值的和為

π

2

-

3π

2

+

5π

2

-…+

21π

2

=

11π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和極值和的求法，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，考查分類討論能力，考查計(jì)算求解能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．