Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率為$\frac{1}{2}$，長軸長為4．
（1）求橢圓標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，S_△AOB=$\sqrt{3}$，O為原點，k_OA•k_OB是否為定值，若為定值，求出該定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，長軸長為4及c²=a²-b²聯(lián)立方程組求解a²，b²，則橢圓的方程可求；
（2）把直線l的方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系求出直線和橢圓兩個交點的橫坐標的和與積，代入直線方程求出兩交點的縱坐標的積，求得k_OA•k_OB，借助于弦長公式求出|AB|的長度，由點到直線的距離公式求出O到直線y=kx+m的距離，寫出三角形AOB的面積后得到k與m的關系，整理后得到結果為定值．

解答 解：（1）由已知，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率為$\frac{1}{2}$，長軸長為4，
∴a=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
∴c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l：y=kx+m與橢圓C聯(lián)立可得
（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化為3+4k²-m²＞0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+m²=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{4{m}^{2}-12}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{48（3-{m}^{2}+4{k}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$，
原點到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵S_△AOB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}•$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{48（3-{m}^{2}+4{k}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$．
解得m²=$\frac{3}{2}$+2k²，
則k_OA•k_OB=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{4{m}^{2}-12}$=$\frac{\frac{9}{2}-6{k}^{2}}{8{k}^{2}-6}$=-$\frac{3}{4}$．
故k_OA•k_OB為定值-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等屬于中檔題．