Question

已知函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）
（1）當a=-4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意x∈[1，2]，不等式f（x）≤x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，a=-4時求得f'（x），然后在定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-x=x²-x+aln（x+1）（x＞-1），等價于“對于任意x∈[1，2]，不等式g（x）≤0恒成立”．求函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)g'（x），根據(jù)g（x）在[1，2]單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、在區(qū)間[1，2]存在極值三種情況進行討論可得g（x）的最大值，令其小于等于0可得a的范圍；

解答： 解：（1）由已知，f（x）的定義域為（-1，+∞）．
當a=-4時，f（x）=x²-4ln（x+1），∴f′(x)=2x-

4

x+1

=

2(x-1)(x+2)

x+1

．
令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
（2）設(shè)g（x）=f（x）-x=x²-x+aln（x+1）（x＞-1），則“對于任意x∈[1，2]，不等式f（x）≤x恒成立”等價于“對于任意x∈[1，2]，不等式g（x）≤0恒成立”．
而g′(x)=2x-1+

a

x+1

=

2x2+x+a-1

x+1

，
設(shè)h（x）=2x²+x+a-1．則h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∵x∈[1，2]，∴a+2≤h（x）≤a+9．
①當a≥-2時，h（x）≥0，g'（x）≥0，即g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
要使不等式g（x）≤0對任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=g（2）=2+aln3≤0，∴a≤-

2

ln3

．
又a≥-2，∴-2≤a≤-

2

ln3

．
②當a≤-9時，h（x）≤0，g'（x）≤0，即g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
要使不等式g（x）≤0對任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=g（1）=aln2≤0，∴a≤0．
又a≤-9，∴a≤-9．
③當-9＜a＜-2時，由h（x）=0，得x0=

9-8a -1

4

∈（1，2）．
當1≤x＜x₀時，h（x）＜0，∴g'（x）＜0；
當x₀＜x≤2時，h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在[1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，2]上單調(diào)遞增，要
使不等式g（x）≤0對任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=max{g（1），g（2）}≤0．
又g（1）=aln2，g（2）=2+aln3，且-9＜a＜-2，0＜ln2＜1，1＜ln3，
∴g（1）=aln2＜0，g（2）=2+aln3＜2-2ln3＜0，即g（x）_max=max{g（1），g（2）}＜0，
∴-9＜a＜-2時符合條件．
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是(-∞，-

2

ln3

]．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．