Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+a

x2+1

（x∈R）為奇函數(shù)，判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)給定函數(shù)為奇函數(shù)，求出參數(shù)a的取值，然后，借助于導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

2x+a

x2+1

（x∈R）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴a=0，
∴f(x)=

2x

x2+1

，
∵f′（x）=

2(1-x2)

(x2+1)2

=

2(1+x)(1-x)

(x2+1)2

，
令f′（x）≥0，∵x∈（0，+∞），
∴0＜x≤1，
令f′（x）＜0，
∴x＞1，
∴函數(shù)f(x)=

2x

x2+1

在（0，1]為增函數(shù)，（1，+∞）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義，掌握作差比較法的運(yùn)用，屬于中檔題．