Question

如圖，點P（0，

A

2

）是函數(shù)y=Asin（

2π

9

x+φ）（其中A＞0，φ∈[0，2π））的圖象與y軸的交點，點Q是它與x軸的一個交點，點R是它的一個最低點．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若PQ⊥PR，求A的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：第（Ⅰ）問要求φ值，要先求出φ的某種三角函數(shù)值，代入P點坐標即可，結(jié)合圖象和φ的取值范圍確定φ的值；第（Ⅱ）問要根據(jù)PQ⊥PR，求出P、Q、R點的坐標，然后利用向量的內(nèi)積為0構(gòu)建關(guān)于A的方程求解．

解答： （本小題14分）
解：（I）∵函數(shù)經(jīng)過點P(0，

A

2

)∴sinφ=

1

2

…（3分）
又∵φ∈[0，2π），且點P在遞減區(qū)間上∴ϕ=

5π

6

…（7分）
（II）由（I）可知y=Asin(

2π

9

+

5π

6

)令y=0，得sin(

2π

9

x+

5π

6

)=0
∴

2π

9

x+

5π

6

=0∴x=-

15

4

∴Q(-

15

4

，0)…（9分）
令y=-A，得sin(

2π

9

x+

5π

6

)=-1∴

2π

9

x+

5π

6

=

3π

2

∴x=3∴R（3，-A）…（11分）
又∵P(0，

A

2

)，∴

PQ

=(-

15

4

，-

A

2

)，

PR

=(3，-

3A

2

)
∵PQ⊥PR，∴

PQ

•

PR

=-

45

4

+

3

4

A2=0解得：A=

15

…（14分）

點評：本題綜合性較強，重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在解題中利用了數(shù)形結(jié)及方程的思想．