Question

設(shè)A，B是橢圓W：

x2

4

+

y2

3

=1上不關(guān)于坐標軸對稱的兩個點，直線AB交x軸于點M（與點A，B不重合），O為坐標原點．
（Ⅰ）如果點M是橢圓W的右焦點，線段MB的中點在y軸上，求直線AB的方程；
（Ⅱ）設(shè)N為x軸上一點，且

OM

•

ON

=4，直線AN與橢圓W的另外一個交點為C，證明：點B與點C關(guān)x軸對稱．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出點B的坐標為（-1，±

3

2

），由此能求出直線AB（即MB）的方程．
（Ⅱ）設(shè)點B關(guān)于x軸的對稱點為B₁（在橢圓W上），要證點B與點C關(guān)于x軸對稱，只要證點B₁與點C重合，又因為直線AN與橢圓W的交點為C（與點A不重合），所以只要證明點A，N，B₁三點共線．

解答： （Ⅰ）解：橢圓W：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點為M（1，0），
因為線段MB的中點在y軸上，
所以點B的橫坐標為-1，
因為點B在橢圓W上，
將x=-1代入橢圓W的方程，得點B的坐標為（-1，±

3

2

）．
所以直線AB（即MB）的方程為3x-4y-3=0或3x+4y-3=0．
（Ⅱ）證明：設(shè)點B關(guān)于x軸的對稱點為B₁（在橢圓W上），
要證點B與點C關(guān)于x軸對稱，
只要證點B₁與點C重合，．
又因為直線AN與橢圓W的交點為C（與點A不重合），
所以只要證明點A，N，B₁三點共線．
以下給出證明：
由題意，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則B₁（x₂，-y₂）．
由

3x2+4y2=12 y=kx+m

，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
所以△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
在y=kx+m中，令y=0，得點M的坐標為（-

m

k

，0），
由

OM

•

ON

=4，得點N的坐標為N（-

4k

m

，0），
設(shè)直線NA，NB₁的斜率分別為k_NA，kNB1，
則kNA-kNB1=

y1

x1+ 4k m

-

-y2

x2+ 4k m

=

x2y1+y1× 4k m +x1y2+y2× 4k m

(x1+ 4k m )(x2+ 4k m )

，
因為x2y1+y1×

4k

m

+x1y2+y2×

4k

m

=x2(kx1+m)+(kx1+m)×

4k

m

+x1(kx2+m)+(kx2+m)×

4k

m

=2kx1x2+(m+

4k2

m

)(x1+x2)+8k
=2k×（

4m2-12

3+4k2

）+（m+

4k2

m

）（-

8km

3+4k2

）+8k
=

8m2k-24k-8m2k-32k3+24k+32k3

3+4k2

=0．
所以kNA-kNB1=0，
所以點A，N，B₁三點共線，
即點B與點C關(guān)于x軸對稱．

點評：本題考查直線方程的求法，考查兩點關(guān)于x軸對稱的證明，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．