Question

已知函數(shù) f（x）=

1

2

x²-（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線與直線3x-y+2=0平行，求a的值：
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）在（I）的條什下，若對職?x∈[1，e]，f（x）≥k²+6k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)值即曲線的斜率即可求得；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對a進(jìn)行討論；
（Ⅲ）把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決，對?x∈[1，e]，f（x）≥k²+6k恒成立，即求f（x）_min≥k²+6k恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x-（3a+1）+

2a(2a+1)

x

-------------------------------1分
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線與直線3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=1-（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a²-a-3=0．------------------------2分
解得a=

3

2

或a=-1（不符合題意，舍去），∴a=

3

2

．------------------------4分
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=x-（3a+1）+

2a(2a+1)

x

-------------------------5分
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，2a＜a+1，∴當(dāng)0＜x＜2a或x＞a+1時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)2a＜x＜a+1時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上單調(diào)遞增，在（2a，a+1）上單調(diào)遞減．------------------7分
②當(dāng)a=1時(shí)，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，---------------------------8分
③當(dāng)a＞1時(shí)，2a＞a+1，
∴0＜x＜a+1或x＞2a時(shí)，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（a+1，2a）上單調(diào)遞減．------------------10分
（Ⅲ）當(dāng)a=

3

2

時(shí)，f（x）=

x2

2

-

11x

2

+

15

2

lnx，
由（Ⅱ）知函數(shù)f（x）在（0，

5

2

）上單調(diào)遞增，在（

5

2

，3）上單調(diào)遞減，
因此f（x）在區(qū)間1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．----------------------------------11分
∵f（1）=-5，f（e）=

e2

2

-

11e

2

+

15

2

，
∴f（e）-f（1）=

e2-11e+25

2

．
設(shè)g（x）=x²-11x+25，則g（x）在（-∞，

11

2

）上單調(diào)遞減，且e＜3＜

11

2

，
∴g（e）＞g（3），故f（e）-f（1）＞0．
∴f（x）在區(qū)間1，e]的最小值是f（1）=-5．----------------------------13分
若要滿足對對?x∈[1，e]，f（x）≥k²+6k恒成立，只需f（x）_min≥k²+6k恒成立，
即求-5≥k²+6k恒成立，即k²+6k+5≤0，解得-5≤k≤-1．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-5，-1]．---------------------------------------14分

點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．