Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M（-1，0）．
（Ⅰ）求拋物線的方程，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）是否存在過(guò)焦點(diǎn)的直線AB（直線與拋物線交于點(diǎn)A，B），使得三角形MAB的面積S_△MAB=4

2

？若存在，請(qǐng)求出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件得-

p

2

=-1，由此能求出拋物線方程和拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（Ⅱ）法一：由題意，設(shè)AB：x=ty+1，并與y²=4x聯(lián)立，得到方程：y²-4ty-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由S_△MAB=S_△MAF+S_△MBS=

1

2

|MF|•（|y₁|+|y₂|），能求出直線AB的方程．
（Ⅱ）法二：設(shè)AB：y=k（x-1）（k≠0），并與y²=4x聯(lián)立，得到方程：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AB|=

4(k2+1)

k2

，點(diǎn)M到直線AB的距離為的d，由S△MAB=

1

2

|AB|•d，能求出直線AB的方程．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M（-1，0），
∴-

p

2

=-1，
解得p=2，
∴拋物線方程為y²=4x，
拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由題意，設(shè)AB：x=ty+1，并與y²=4x聯(lián)立，
得到方程：y²-4ty-4=0，…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4．…（7分）
S_△MAB=S_△MAF+S_△MBS
=

1

2

|MF|•（|y₁|+|y₂|），
∵y₁•y₂＜0，∴|y₁|+|y₂|=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

t2+1

，…（9分）
又|MF|=2，∴S△MAB=

1

2

×2×4

t2+1

=4

2

，…（10分）
解得t=±1，…（11分）
故直線AB的方程為：x=±y+1．
即x+y-1=0或x-y-1=0．…（12分）
（Ⅱ）解法二：當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|=2p=4，
S_△MAB=

1

2

|MF|•|AB|=

1

2

×2×4=4，不符合題意．…（5分）
∴設(shè)AB：y=k（x-1）（k≠0），并與y²=4x聯(lián)立，
得到方程：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．…7分
|AB|=x₁+x₂+p=

4(k2+1)

k2

，
點(diǎn)M到直線AB的距離為d=

|k×(-1)-0-k|

k2+1

=

2|k|

k2+1

，…（9分）
∴S△MAB=

1

2

|AB|•d
=

1

2

×

4(k2+1)

k2

×

2|k|

k2+1

=

4 k2+1

|k|

=4

2

，…（10分）
解得k=±1，…（11分）
故直線AB的方程為：y=±（x-1）．即x+y-1=0或x-y-1=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．