Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）|x|+b．
（1）當a=2，b=3，求函數(shù)y=f（x）的零點；
（2）設(shè)b=-2，且對任意x∈[-1，1]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先將a=2，b=3代入，然后將函數(shù)化為分段函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的圖象，進而分析函數(shù)圖象可得答案．
（2）將b=-2代入原式，f（x）＜0可化為（x-a）|x|＜2，再對x進行分類討論分離參數(shù)a后，求函數(shù)最值即可．

解答： 解（1）當a=2，b=3時
函數(shù)f（x）=（x-2）|x|+3的解析式可化為：
f（x）=

x2-2x+3，x≥0 2x-x2+3，x＜0

．
易知，當x≥0時，f（x）=（x-1）²+1≥1恒成立，故此時沒有零點；當x＜0時，令f（x）=0得x=-1或3（舍），故x=-1符合題意；
綜上原函數(shù)的零點為-1．
（2）當b=-2時，由f（x）＜0得，（x-a）|x|＜2．
當x=0時，a取任意實數(shù)，不等式恒成立；
當0＜x≤1時，原式可化為a＞x-

2

x

，令g（x）=x-

2

x

，易知該函數(shù)在0＜x≤1上單調(diào)遞增，
∴a＞g_max（x）=g（1）=-1；
當-1≤x＜0時，原式可化為a＞x+

2

x

．令g(x)=x+

2

x

，由g′(x)=1-

2

x2

＜0得-

2

＜x＜0或0＜x＜

2

．
故函數(shù)g（x）在[-1，0）上遞減，所以此時a＞g（x）_max=g（-1）=-3．
綜上，當a＞-1時對任意x∈[-1，1]，f（x）＜0恒成立．

點評：本題重點考查了不等式恒成立問題的解法，主要是分離參數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．