Question

袋中裝有大小和形狀相同的小球若干個黑球和白球，且黑球和白球的個數(shù)比為4：3，從中任取2個球都是白球的概率為

1

7

現(xiàn)不放回從袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用ξ表示取球終止時所需要的取球次數(shù)．
（1）求袋中原有白球、黑球的個數(shù)；
（2）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,組合及組合數(shù)公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）依題意設(shè)袋中原有3n個白球，則有4n個黑球．由題意知

1

7

=

C 2 3n

C 2 7n

，由此能求出袋中原有白球、黑球的個數(shù)．
（2）依題意，ξ的取值是1，2，3，4，5．分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）依題意設(shè)袋中原有3n個白球，則有4n個黑球．
由題意知

1

7

=

C 2 3n

C 2 7n

=

3n(3n-1) 2

7n(7n-1) 2

=

3(3n-1)

7(7n-1)

，（4分）
即7n-1=9n-3，解得n=1，
即袋中原有3個白球和4個黑球．（5分）
（2）依題意，ξ的取值是1，2，3，4，5．
ξ=1，即第1次取到白球，P（ξ=1）=

3

7

，
ξ=2，即第2次取到白球P（ξ=2）=

4

7

×

3

6

=

2

7

，
同理可得，P（ξ=3）=

4

7

×

3

6

×

3

5

=

6

35

，
P（ξ=4）=

4

7

×

3

6

×

2

5

×

3

4

=

3

35

，
P（ξ=5）=

4

7

×

3

6

×

2

5

×

1

4

×

3

3

=

1

35

，（10分）
ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

Eξ=1×

3

7

+2×

2

7

+3×

6

35

+4×

3

35

+5×

1

35

=2．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．