Question

已知：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AD=4，AA₁=4，O為對(duì)角線AC₁的中點(diǎn)，過O的直線與長方體表面交于兩點(diǎn)M，N，P為長方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則

PM

•

PN

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：分類討論：直線MN與長方體相交的三種情況，再根據(jù)長方體的對(duì)稱性和數(shù)量積的性質(zhì)：取P點(diǎn)時(shí)只要取頂點(diǎn)和每個(gè)表面的中心即可．

解答： 解：如圖所示．
∵O為對(duì)角線AC₁的中點(diǎn)，
∴O（1，2，2）．
以下分類討論：
根據(jù)長方體的對(duì)稱性和數(shù)量積的性質(zhì)：取P點(diǎn)時(shí)只要取頂點(diǎn)和每個(gè)表面的中心即可．
①當(dāng)點(diǎn)MN在上下兩個(gè)面時(shí)．
取P（0，0，0），
設(shè)N（x，y，0），（0≤x≤2，0≤y≤4）．
則M（2-x，4-y，4）．
∴

PM

•

PN

=x（2-x）+y（4-y）=-[（x-1）²+（y-2）²]+5，
此時(shí)可得：

PM

•

PN

的取值范圍是[0，5]．
取點(diǎn)P（1，0，2），

PM

=（1-x，4-y，-2），

PN

=（x-1，y，-2）
則

PM

•

PN

=-（x-1）²+y（4-y）-4=-[（x-1）²+（y-2）²]，
由于0≤x≤2，0≤y≤4，∴-5≤

PM

•

PN

≤0．
此時(shí)可得：

PM

•

PN

的取值范圍是[-5，0]．
綜上可得：

PM

•

PN

的取值范圍是[-5，5]．
②當(dāng)點(diǎn)MN在左右兩個(gè)面時(shí)，

PM

•

PN

的取值范圍是[-5，5]．
③當(dāng)點(diǎn)MN分別上或下兩個(gè)面、左或右時(shí)，

PM

•

PN

的取值范圍是[-8，8]．
綜上可得：

PM

•

PN

的取值范圍是[-8，8]．
故答案為：

PM

•

PN

的取值范圍是[-8，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了長方體的對(duì)稱性、數(shù)量積的性質(zhì)、分類討論思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．