【題目】在中,角,,的對邊分別為,,,已知.
(1)若,的面積為,求,的值;
(2)若,且角為鈍角,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1),或,(2)
【解析】
先由正弦定理和三角恒等變換,同角的三角函數(shù)基本關(guān)系求出cosA、sinA的值;
(1)利用余弦定理和三角形的面積公式列出方程組,求出b、c的值;
(2)利用正弦定理和余弦定理,結(jié)合角為鈍角,求出k的取值范圍.
△ABC中,4acosA=ccosB+bcosC,
∴4sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA,
∴cosA,
∴sinA;
(1)a=4,
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2bc=16①;
又△ABC的面積為:
S△ABCbcsinAbc,
∴bc=8②;
由①②組成方程組,解得b=4,c=2或b=2,c=4;
(2)當sinB=ksinC(k>0),b=kc,
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=(kc)2+c2﹣2kcc(k2k+1)c2;
又C為鈍角,則a2+b2<c2,
即(k2k+1)+k2<1,解得0<k;
所以k的取值范圍是.
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【題目】已知拋物線,準線方程為,直線過定點()且與拋物線交于、兩點,為坐標原點.
(1)求拋物線的方程;
(2)是否為定值,若是,求出這個定值;若不是,請說明理由;
(3)當時,設,記,求的解析式.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,,,過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點,且
(1)若,求橢圓的方程;
(2)直線AB的斜率;
(3)設點C與點A關(guān)于坐標原點對稱,直線上有一點在的外接圓上,求的值.
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【題目】某種零件的質(zhì)量指標值為整數(shù),指標值為8時稱為合格品,指標值為7或者9時稱為準合格品,指標值為6或10時稱為廢品,某單位擁有一臺制造該零件的機器,為了了解機器性能,隨機抽取了該機器制造的100個零件,不同的質(zhì)量指標值對應的零件個數(shù)如下表所示;
質(zhì)量指標值 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
零件個數(shù) | 6 | 18 | 60 | 12 | 4 |
使用該機器制造的一個零件成本為5元,合格品可以以每個元的價格出售給批發(fā)商,準合格品與廢品無法岀售.
(1)估計該機器制造零件的質(zhì)量指標值的平均數(shù);
(2)若該單位接到一張訂單,需要該零件2100個,為使此次交易獲利達到1400元,估計的最小值;
(3)該單位引進了一臺加工設備,每個零件花費2元可以被加工一次,加工結(jié)果會等可能出現(xiàn)以下三種情況:①質(zhì)量指標值增加1,②質(zhì)量指標值不變,③質(zhì)量指標值減少1.已知每個零件最多可被加工一次,且該單位計劃將所有準合格品逐一加工,在(2)的條件下,估計的最小值(精確到0.01) .
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【題目】已知雙曲線的左右頂點分別為.直線和兩條漸近線交于點,點在第一象限且,是雙曲線上的任意一點.
(1)求雙曲線的標準方程;
(2)是否存在點P使得為直角三角形?若存在,求出點P的個數(shù);
(3)直線與直線分別交于點,證明:以為直徑的圓必過定點.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標方程;
(2)直線與軸的交點為,經(jīng)過點的直線與曲線交于兩點,若,求直線的傾斜角.
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