Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=

9

2

，且對(duì)任意的n＞1，n∈N^*均滿足S_n+S_n-1=2a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若f（x）=x•log₃x，b₁=3，b_n=f（a_n）（n≥2），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a_n=3a_n-1，a₂=2a₁=9，由此能求出an=

9 2 ，n=1 3n，n≥2

．
（2）由已知條件求出bn=n•3n，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n+S_n-1=2a_n，n≥2，①
∴S_n-1+S_n-2=2a_n-1，n≥3，②
①-②，得：a_n+a_n-1=2a_n-2a_n-1，n≥2．
∴a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}從第2項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，
S₂+S₁=2a₂，a₁+a₂+a₁=2a₂，
∵a₁=

9

2

，∴a₂=2a₁=9，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=9•3n-2=3ⁿ，
∴an=

9 2 ，n=1 3n，n≥2

．
（2）n≥2時(shí)，f（x）=x•log₃x，b₁=3，
b_n=f（a_n）=3ⁿ•log33n=n•3ⁿ，n=1時(shí)也成立，
∴bn=n•3n，
∴T_n=1×3+2×3²+…+n×3ⁿ，①
3T_n=1×3²+2×3³+…+n×3ⁿ⁺¹，②
兩式作差得：
-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=

3

4

+(

n

2

-

1

4

)•3n+1．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．