Question

4．直線y=3x+1是曲線y=x³-a的一條切線，則實(shí)數(shù)a的值為-3或1．

Answer 1

分析 先對(duì)y=x³-a進(jìn)行求導(dǎo)，設(shè)出切點(diǎn)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于3求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入到曲線方程可得答案．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
對(duì)y=x³-a求導(dǎo)數(shù)是y'=3x²，
由題意可得3x₀²=3．∴x₀=±1．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．
又P（1，4）也在y=x³-a上，
∴4=1³-a．∴a=-3．
（2）當(dāng)x=-1時(shí)，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×（-1）+1=-2，即P（-1，-2）．
又P（-1，-2）也在y=x³-a上，
∴-2=（-1）³-a．∴a=1．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為-3或1．
故答案為：-3或1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率，注意設(shè)出切點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．