Question

16．已知a-b=1（0＜b＜1），則$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{1-b}$的最小值為$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于a-b=1，可得a=1+b，代入式子進(jìn)行化簡(jiǎn)可得$\frac{b-3}{^{2}-1}$，然后構(gòu)造函數(shù)f（b）=$\frac{b-3}{^{2}-1}$，求其導(dǎo)數(shù)然后求其最值．

解答 解：a-b=1（0＜b＜1），
∴a=1+b，
∴$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{1-b}$
=$\frac{（b+1）^{2}+2}{b+1}-\frac{^{2}}{b-1}$
=（b+1）+$\frac{2}{b+1}$-$\frac{（b+1）（b-1）+1}{b-1}$
=$\frac{2}{b+1}-\frac{1}{b-1}$
$\frac{b-3}{^{2}-1}$（0＜b＜1）
令f（b）=$\frac{b-3}{^{2}-1}$，
$f′（b）=\frac{^{2}-1-（b-3）•2b}{（^{2}-1）^{2}}$=$\frac{-^{2}+6b-1}{（^{2}-1）^{2}}$
令f′（b）=0，
∵0＜b＜1，有唯一極值點(diǎn)，b=3-2$\sqrt{2}$，
故b=3-2$\sqrt{2}$時(shí)，f（b）有最小值，
f（3-2$\sqrt{2}）$=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的構(gòu)造，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．