Question

如圖，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（側(cè)棱垂直底面的棱柱）中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）求BC₁與平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)題中的已知條件找到線線垂直，進(jìn)一步找到線面垂直的條件，來(lái)證明線面垂直．
（2）要求直線與平面的夾角，首先找到直線與平面所成角的平面角，然后利用余弦定理來(lái)求解．

解答：
證明：（1）設(shè)E是DC的中點(diǎn)，連結(jié)BE，則四邊形DABE為正方形．
∴BE⊥CD，故BD=

2

，BC=

2

，CD=2
∴∠DBC=90°即：BD⊥BC
∵BD⊥BB₁  BB₁∩BC=B
∴BD⊥平面BCC₁B₁
（2）由（1）知∴BD⊥平面BCC₁B₁
BC₁?平面BCC₁B₁
∴BD⊥BC₁
取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)A₁F，A₁D=A₁B
A₁F⊥BD
取DC₁的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，
則：FM∥BC₁
∴FM⊥BD
∴BD⊥平面A₁FM
過(guò)M向平面A₁FM作垂線，垂足必落在A₁F上，
∴∠A₁FM為直線BC₁與平面A₁BD所成的角．
連結(jié)A₁M，在△A₁FM中，A1F=

3

2

2

  FM=

1

2

BC1=

1

2

BC2+CC12

=

6

2

取D₁C₁的中點(diǎn)H，連結(jié)A₁H，HM
在Rt△A₁HM中，A1H=

2

，HM=1，A1M=

3

∴cos∠A1FM=

A1F2+FM2-A1M2

2A1F•FM

=

3

3

∴直線BC₁與平面A₁BD所成角的正弦值為

6

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：線面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)定理，直線與平面所成的角，余弦定理勾股定理及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．