Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（-1，0），（1，0）的距離之和等于2

2

，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F（1，0）且與坐標(biāo)軸不垂直的直線L交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0）（M與O、F不重合），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意知點(diǎn)P的軌跡C的橢圓，設(shè)該橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由已知條件是

2a=2 2 c=1

，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)l的方程為y=k（x-1），k≠0，由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此能求出在線段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（M與O、F不重合），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．

解答： 解：（1）由題意知點(diǎn)P的軌跡C的橢圓，設(shè)該橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵點(diǎn)P到兩點(diǎn)（-1，0），（1，0）的距離之和等于2

2

，
∴

2a=2 2 c=1

，解得a=

2

，c=1，∴b²=2-1=1，
∴曲線C的方程是

x2

2

+y2=1．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0），（0＜m＜1）滿足條件，
使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，
∵直線與x軸不垂直，∴設(shè)l的方程為y=k（x-1），k≠0，
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
△＞0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

2k2

1+2k2

，y0=k(x0-1)=

-k

1+2k2

，
∵以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，
∴MN⊥PQ，∴k_MN•k_PQ=-1，
即

-k 1+2k2

2k2 1+2k2 -m

•k=-1，∴m=

k2

1+2k2

=

1

2+ 1 k2

，
∵k²＞0，∴0＜m＜

1

2

．
∴在線段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（M與O、F不重合），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．