Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；
（2）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．1

Answer 1

（1）直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．
（3）點(diǎn)滿(mǎn)足時(shí)，有// 平面．

本試題主要是考查了空間幾何中點(diǎn)，線(xiàn)，面的位置關(guān)系的運(yùn)用。
（1）因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010342594511.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且
所以BC⊥平面，則即為直線(xiàn)與平面所成的角
（1）假設(shè)存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面，建立直角坐標(biāo)系來(lái)證明。
解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010342859540.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．                           
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010342142539.png" style="vertical-align:middle;" />為直角梯形，，，
所以四邊形為正方形，所以．  
所以平面．    所以 ．           4分
（2）解法1：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010342594511.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且
所以BC⊥平面
則即為直線(xiàn)與平面所成的角
設(shè)1C=a，則AB=2a，，所以
則直角三角形CBE中，
即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．               8分
解法2：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010342594511.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且，
所以平面，所以．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)槿�角�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010343593485.png" style="vertical-align:middle;" />為等腰直角三角形，所以，設(shè)，
則．
所以，平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，
所以，           
即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．       8分
（3）解：存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面．       
證明如下：由，，所以．
設(shè)平面的法向量為，則有
所以  取，得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010344139449.png" style="vertical-align:middle;" />，且平面，所以// 平面．
即點(diǎn)滿(mǎn)足時(shí)，有// 平面．               12分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用空間中的法向量來(lái)得到線(xiàn)面角的表示，以及平行的證明，屬于基礎(chǔ)題。