Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a₂=a-1（a≠0且a≠1），其前n項和為S_n，且當n≥2時，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

．
（1）求證：數列{S_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若a=4，令b_n=

9an

(an+3)(an+1+3)

，記數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n的表達式．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），由此能證明數列{S_n}是等比數列．
（2）由（Ⅰ）知S_n=a^n-1，由此能求出數列{a_n}的通項公式．．
（3）當a=4，n≥2時，a_n=3×4^n-2，此時bn=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，b₁=

3

8

，由此能求出T_n．

解答： （1）證明：當n≥2時，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

，
化簡得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），
又由S₁=1≠0，S₂=a≠0，得對一切正整數n均有S_n≠0，
∴數列{S_n}是等比數列．
（2）由（Ⅰ）知等比數列{S_n}的首項為1，公比為a，
∴S_n=a^n-1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（a-1）a^n-2，
又a₁=S₁=1，
∴an=

1，n=1 (a-1)an-2，n≥2

．
（3）當a=4，n≥2時，a_n=3×4^n-2，
此時bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，
又b₁=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

，
∴b_n=

3 8 ，n=1 1 4n-2+1 - 1 4n-1+1 ，n≥2

，
T₁=b₁=

3

8

，
當n≥2時，
T_n=

3

8

+（

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

17

+…+

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

）
=

3

8

+

1

2

-

1

4n-1+1

=

7

8

-

1

4n-1+1

，
∴T_n=

3 8 ，n=1 7 8 - 1 4n-1+1 ，n≥2

．

點評：本題考查數列是等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．