Question

設(shè)b和c分別是先后投擲一枚骰子得到的點數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c=0．
（1）求方程x²+bx+c=0有實根的概率；
（2）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根的概率；
（3）設(shè)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），b∈[1，4]，c∈[2，4]，求f（-2）＞0成立時的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：由題意列出所有的基本情況：即（b，c）的所有可能的取值，
（1）由方程有根必有△≥0，由此關(guān)系找出所有符合條件的（b，c），再由公式求出概率；
（2）由（1）得使方程x²+bx+c=0有實根所有符合條件的（b，c），再從當(dāng)中找出先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的所有符合條件的（b，c），再由公式求出概率；
（3）此題是一個幾何概率模型，先得到試驗的全部可能的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域{（b，c）|1≤b≤4，2≤c≤4}，再畫出構(gòu)成事件的區(qū)域，再代入概率公式求解．

解答： 解：（b，c）的所有可能的取值有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36種．…（3分）
（1）要使方程x²+bx+c=0有實根，必須滿足△=b²-4c≥0，符合條件的有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共19種．
∴方程x²+bx+c=0有實根的概率為P=

19

36

．     …（6分）
（2）由（1）得在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根結(jié)果有：
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共7種．
∴在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根的概率為P=

7

11

．…（9分）
（3）試驗的全部可能的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（b，c）|1≤b≤4，2≤c≤4}．
由f（-2）＞0得，4-2b+c＞0，
則構(gòu)成事件{f（-2）＞0成立}的區(qū)域為{（b，c）|1≤b≤4，2≤c≤4，4-2b+c＞0}．
在b-O-c系中畫出此不等式表示的平面區(qū)域，圖中的陰影部分區(qū)域為事件構(gòu)成的區(qū)域，

又b∈[1，4]，c∈[2，4]，它表示的平面區(qū)域是一個矩形，根據(jù)幾何概型可得，
所以所求事件{f（-2）＞0成立}的概率為p=

3×2- 1 2 ×1×2

3×2

=

5

6

．   …（12分）

點評：本題考查了幾何概型、古典概率下的事件概率公式，關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷出概率符合的模型．古典概率類型題的求解，首先列出所有的實驗結(jié)果每種結(jié)果，代入古典概率的計算公式：P（A）=

m

n

（其中n是試驗的所有結(jié)果，m是基本事件的結(jié)果數(shù)）；幾何概型下的概率應(yīng)用圖解法來表示出所有的滿足條件的區(qū)域，代入公式求解．