Question

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′（x）≤f（x），對(duì)任意的正數(shù)a，b（a≤b），
有下列四個(gè)命題：
①af（a）≤bf（b）；
②af（a）≥bf（b）；
③af（b）≥bf（a）；
④af（b）≤bf（a）中，
真命題的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

（x＞0）．利用導(dǎo)數(shù)和已知xf′（x）≤f（x），即可得出單調(diào)性，進(jìn)而判斷出．

解答： 解：∵xf′（x）≤f（x），
令g（x）=

f(x)

x

（x＞0）．
則g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

≤0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∵0＜a≤b，
∴g（a）≥g（b），
∴

f(a)

a

≥

f(b)

b

，
即bf（a）≥af（b）．
只有④正確．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法，考查了推理能力，屬于中檔題．