Question

11．已知復(fù)數(shù)$z=\frac{3+i}{2-i}$，z₁=2+mi．
（1）若|z+z₁|=5，求實數(shù)m的值；
（2）若復(fù)數(shù)az+2i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡z，代入|z+z₁|=5，得到關(guān)于m的方程得答案；
（2）把z代入az+2i，整理后由實部小于0且虛部大于0聯(lián)立不等式組求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）$z=\frac{3+i}{2-i}=\frac{（3+i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{5+5i}{5}$=1+i．
∵|z+z₁|=|1+i+2+mi|=|3+（m+1）i|=$\sqrt{{3^2}+{{（m+1）}^2}}$=5，
∴9+（m+1）²=25．
解得m=-5或3；
（2）az+2i=a（1+i）+2i=a+（a+2）i，
∵復(fù)數(shù)a+（a+2）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+2＞0}\end{array}}\right.$．
解得-2＜a＜0．

點評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計算題．