【題目】如圖,在四棱錐中,為中點(diǎn),側(cè)棱,底面為直角梯形,其中,,平面,、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn),且.
(1)求證:平面;
(2)當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí),求到平面的距離;
(3)在(2)的條件下求與平面所成角.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)證明和即可;
(2)根據(jù)體積最值關(guān)系求出分別為的中點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用公式求距離;
(3)結(jié)合第(2)問(wèn)的法向量利用公式即可求出線面角.
(1)在中,為中點(diǎn),側(cè)棱,所以,
又因?yàn)?/span>平面,平面,所以,
是平面內(nèi)兩條相交直線,
所以平面;
(2),即,
,所以是等腰直角三角形,,
平面,平面,所以,
連接,
設(shè),則,由(1)平面,
所以是點(diǎn)到平面的距離,
所以三棱錐的體積
,,當(dāng)時(shí),取得最大值
此時(shí)分別為的中點(diǎn),
,所以四邊形是平行四邊形,,
所以四邊形是正方形,,
以為原點(diǎn),方向?yàn)?/span>軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則,
,
設(shè)平面的法向量,則,
取,則,
所以點(diǎn)到平面的距離;
(3)設(shè)與平面所成角為,
,
,
即與平面所成角為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷部門為了統(tǒng)計(jì)某市網(wǎng)友某日在某淘寶店的網(wǎng)購(gòu)情況,隨機(jī)抽查了該市當(dāng)天名網(wǎng)友的網(wǎng)購(gòu)金額情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表(如圖).
網(wǎng)購(gòu)金額(單位:千元) | 頻數(shù) | 頻率 |
3 | 0.05 | |
9 | 0.15 | |
15 | 0.25 | |
18 | 0.30 | |
若網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)千元的顧客定義為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,網(wǎng)購(gòu)金額不超過(guò)千元的顧客定義為“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,已知“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”人數(shù)比恰好為.
(Ⅰ)試確定的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖);
(Ⅱ)該營(yíng)銷部門為了進(jìn)一步了解這名網(wǎng)友的購(gòu)物體驗(yàn),從“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”中用分層抽樣的方法抽取人,若需從這人中隨機(jī)選取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.設(shè)為選取的人中“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的人數(shù),求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為4的正三角形, ,分別為的中點(diǎn),且.
(1)證明:平面ABC;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某機(jī)器生產(chǎn)商,對(duì)一次性購(gòu)買兩臺(tái)機(jī)器的客戶推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案:
方案一:交納延保金元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修次,超過(guò)次每次收取維修費(fèi)元;
方案二:交納延保金元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修次,超過(guò)次每次收取維修費(fèi)元.
某工廠準(zhǔn)備一次性購(gòu)買兩臺(tái)這種機(jī)器,現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案,為此搜集并整理了臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),統(tǒng)計(jì)得下表:
維修次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
機(jī)器臺(tái)數(shù) | 20 | 10 | 40 | 30 |
以上臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替一臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記表示這兩臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).
求的分布列;
以所需延保金與維修費(fèi)用之和的期望值為決策依據(jù),該工廠選擇哪種延保方案更合算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
1當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
2若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知中,邊,,令,,,過(guò)邊上一點(diǎn)(異于端點(diǎn))引邊的垂線,垂足為,再由引邊的垂線,垂足為,又由引邊的垂線,垂足為,同樣的操作連續(xù)進(jìn)行,得到點(diǎn)列、、,設(shè)();
(1)求;
(2)結(jié)論“”是否正確?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若對(duì)于任意,不等式恒成立,求的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)(,,,)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將()的圖象上的所有的點(diǎn)( 。
A. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)不變
B. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變
C. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)不變
D. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某部門經(jīng)統(tǒng)計(jì),客戶對(duì)不同款型理財(cái)產(chǎn)品的最滿意程度百分比和對(duì)應(yīng)的理財(cái)總銷售量(萬(wàn)元)如下表(最滿意度百分比超高時(shí)總銷售量最高):
產(chǎn)品款型 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
最滿意度% | 20 | 34 | 25 | 19 | 26 | 20 | 19 | 24 | 19 | 13 |
總銷量(萬(wàn)元) | 80 | 89 | 89 | 78 | 75 | 71 | 65 | 62 | 60 | 52 |
設(shè)表示理財(cái)產(chǎn)品最滿意度的百分比,為該理財(cái)產(chǎn)品的總銷售量(萬(wàn)元).這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.
(1)在份款型理財(cái)產(chǎn)品的顧客滿意度調(diào)查資料中任取份;只有一份最滿意的,求含有最滿意客戶資料事件的概率.
(2)我們約定:相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在以下是無(wú)線性相關(guān),在以上(含)至是一般線性相關(guān),在以上(含)是較強(qiáng)線性相關(guān),若沒有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)則采取“末位”剔除制度(即總銷售量最少的那一款產(chǎn)品退出理財(cái)銷售);試求在剔除“末位”款型后的線性回歸方程(系數(shù)精確到).
數(shù)據(jù)參考計(jì)算值:
項(xiàng)目 |
|
|
|
| ||
值 | 21.9 | 72.1 | 288.9 | 37.16 | 452.1 | 17.00 |
附:回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為:
線性相關(guān)系數(shù) .
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