Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{5}$，且當(dāng)n＞1，n∈N*時(shí)，有$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+1}}{{1-2{a_n}}}$，
（1）求證：數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$為等差數(shù)列；
（2）試問a₁•a₂是否是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法結(jié)合等差數(shù)列即可證明數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$為等差數(shù)列；
（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式以及a₁•a₂的值，然后進(jìn)行判斷即可．

解答 （1）證明：∵當(dāng)n＞1，n∈N*時(shí)，$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+1}}{{1-2{a_n}}}$，
∴a_n-1-2a_na_n-1=2a_na_n-1+a_n，
又∵a_n≠0，
∴$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=4$，∴數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$為等差數(shù)列；
（2）∵${a_1}=\frac{1}{5}$，∴${a_2}=\frac{1}{9}$，
∴$\frac{1}{a_n}=5+4（n-1）=4n+1$，∴${a_n}=\frac{1}{4n+1}$，
又∵${a_1}{a_2}=\frac{1}{45}$，若$\frac{1}{45}=\frac{1}{4n+1}$，得n=11，
∴a₁a₂是數(shù)列{a_n}的 第11項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，利用構(gòu)造法以及等差數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．