Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x+a|+b（x∈R），求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)的充要條件為a=0．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，以及充要條件的定義進行證明即可．

解答： 證：充分性：定義域關(guān)于原點對稱．∵a=0，∴f（x）=x²+|x|+b，∴f（-x）=（-x）²+|-x|+b=x²+|x|+b，
∴f（-x）=f（x），即f（x）為偶函數(shù)．
必要性：∵f（x）是偶函數(shù)，則對任意x有f（-x）=f（x），
得（-x）²+|-x+a|+b=x²+|x+a|+b，即|x-a|=|x+a|，
∴a=0．
綜上所述，原命題得證．

點評：本題主要考查偶函數(shù)的定義以及充要條件的應(yīng)用，要求熟練掌握充要條件的定義．