Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，且|F₁F₂|=2．以O(shè)為圓心，a為半徑作圓，若過點P（

a2

c

，0）的圓的兩切線互相垂直，切點分別為A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F₁的直線l與該橢圓交于M，N兩點，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出c=1，

a2

c

=

2

a，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），設(shè)直線方程為y=k（x+1），設(shè)M(x1，y1 )，N(x2，y2)，聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，橢圓的半焦距c=1，
∵過點P（

a2

c

，0）的圓O：x²+y²=a²的兩條切線互相垂直，
∴四邊形OAPB為正方形，
∴

a2

c

=

2

a，∴a=

2

，
由a2 =b2+c2，知b²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1，
將x=-1代入橢圓方程得y=±

2

2

．
設(shè)M（-1，

2

2

），N（-1，-

2

2

），
∴

F2M

+

F2N

=（-2，

2

2

），N（-1，-

2

2

），
∴

F2M

+

F2N

=（-2，

2

2

）+（-2，-

2

2

）=（-4，0），
∴|

F2M

+

F2N

|=4，與題設(shè)矛盾，
∴直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y=k（x+1），
設(shè)M(x1，y1 )，N(x2，y2)，
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=

-4k2

1+2k2

，
從而y1+y2=k(x1+x2+2)=

2k

1+2k2

，
又∵

F2M

=(x1 -1，y1)，

F2N

=(x2-1，y2)，
∴|

F2M

+

F2N

|2=（x₁+x₂-2）²+（y₁+y₂）²
=（

8k2+2

1+2k2

）²+（

2k

1+2k2

）²
=

4(16k4+9k2+1)

4k4+4k2+1

，
∴

4(16k4+9k2+1)

4k4+4k2+1

=（

2 26

3

）²，
化簡，得40k⁴-23k²-17=0，
解得k²=1，或k2=-

17

40

，
∴k=±1，
∴直線l的方程為y=x+1或y=-x-1．

點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，考查推理論證能力、考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，解題時要認真審題，注意根與系數(shù)的關(guān)系的合理運用．