Question

已知函數(shù)f（x）=1g

1-x

1+x

．
（Ⅰ）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在其定義域上是減函數(shù)；
（Ⅱ）要使方程f（x）=x+b在[-

1

2

，

1

2

]上恒有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可，
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-x，由（1）知g（x）在在[-

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)，然后求值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∴函數(shù)f（x）=1g

1-x

1+x

．
∴函數(shù)的定義域為（-1，1），設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=lg

1-x1

1+x1

-lg

1-x2

1+x2

=lg

1-x1+x2-x1x2

1+x1-x2-x1x2

，
∵x₁，x₂∈（-1，1），且設(shè)x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞x₁-x₂，
∴

1-x1+x2-x1x2

1+x1-x2-x1x2

＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在其定義域上是減函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-x，則由（1）知g（x）在在[-

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)，
所以b∈[g（

1

2

），g（-

1

2

）]，
而g（

1

2

）=-

1

2

-lg3，g（

1

2

）=

1

2

+lg3
故實數(shù)b的取值范圍為[-

1

2

-lg3，

1

2

+lg3]

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．