Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲線(xiàn)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）若a=-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線(xiàn)的斜率，切點(diǎn)的坐標(biāo)，代入切線(xiàn)方程求出即可，（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x=（x²+3x）e^x，
∴k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴所求切線(xiàn)方程為：4ex-y-3e=0，
（Ⅱ）∵f（x）=（-x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=-x（x+1）e^x，
令f′（x）＜0，解得：x＜-1，x＞0，
令f′x）＞0，解得：-1＜x＜0，
∴f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞），增區(qū)間為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．