Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線方程建立方程關(guān)系，求出b，c，d，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

解答： 解：（1）由f（x）的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，
所以f（x）=x³+bx²+cx+2，則f'（x）=3x²+2bx+c．
由在M（-1，f（-1））處的切線方程是6x-y+7=0，
知-6-f（-1）+7=0，
即f（-1）=1，f'（-1）=6
∴

3-2b+c=6 -1+b-c+2=1

，
即

2b-c=-3 b-c=0

，
解得b=c=-3，
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．
（2）∵f（x）=x³-3x²-3x+2．
∴f′（x）=3x²-6x-3=3（x²-2x-1）．
由f′（x）=3（x²-2x-1）＞0，
解得x＞1+

2

或x＜1-

2

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=3（x²-2x-1）＜0，
解得1-

2

＜x＜1+

2

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則函數(shù)在x=1-

2

取得極大值，同時(shí)也是最大值，最大值4

2

-3，
當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值-43．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．