Question

若數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)都不等于零，且對(duì)于任意的n∈N^*，都有

an+2

an

=q（q為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為“類等比數(shù)列”．已知數(shù)列{b_n}滿足：b₁=b（b＞0），對(duì)于任意的n∈N^*，都有b_n•b_n+1=-9×2^8-n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是“類等比數(shù)列”；
（2）若{|b_n|}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若b=2，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之積取最大值時(shí)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用b_n•b_n+1=-9×2^8-n，再寫一式，可得

bn+2

bn

=

1

2

，即可得出結(jié)論；
（2）確定數(shù)列{|b_n|}的通項(xiàng)，根據(jù){|b_n|}遞減，所以|b_2k-1|＞|b_2k|＞|b_2k+1|，即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若b=2，分類討論，利用T_n取最大值時(shí)，n=4k（k∈N^*），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令|b_n•b_n+1|＜1得9×27＜(

2

)2n-2，可得n≥13，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之積取最大值時(shí)n的值．

解答： （1）證明：因?yàn)閎_n•b_n+1=-9×2^8-n，所以b_n+1•b_n+2=-9×2^7-n，
所以

bn+2

bn

=

1

2

，
所以，數(shù)列{b_n}是“類等比數(shù)列”． …（4分）
（2）解：由b₁=b，b₁•b₂=-9×2⁷，得b₂=-

9×27

b

 …（5分）
所以b_n=

b×( 1 2 )n-1，(n是奇數(shù)) - 9×27 b ×( 1 2 )n-2，(n是偶數(shù))

…（7分）
因?yàn)閧|b_n|}遞減，所以|b_2k-1|＞|b_2k|＞|b_2k+1|，…（8分）
解得：24

2

＜b＜48．…（10分）
（3）解：記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之積為T_n．
當(dāng)b=2時(shí)，b_n=

2×( 1 2 )n-1，(n是奇數(shù)) -9×26×( 1 2 )n-2，(n是偶數(shù))

，
由{b_n}的通項(xiàng)公式可知．當(dāng)n=4k-2或n=4k-1（k∈N^*）時(shí)，T_n＜0，…（12分）
又因?yàn)?＜b_4k+1＜1，所以T_4k+1=b_4k+1T_4k＜T_4k，
因而T_n取最大值時(shí)，n=4k（k∈N^*）…（14分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令|b_n•b_n+1|＜1得9×27＜(

2

)2n-2，所以n≥13，…（16分）
因而|b₁•b₂|＞1，…，|b₁₁•b₁₂|＞1，|b₁₃•b₁₄|＜1，|b₁₅•b₁₆|＜1，…
所以|T₂|＜|T₄|＜…|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞，…．
因而，當(dāng)n=12時(shí)，T_n取最大值．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．